G  [DR] =             =

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

VARIEDADE DE GRACELI.

         G  [DR] =             =

Em geometria de Riemann, uma variedade de Riemann (a designação variedade riemanniana também é encontrada) é uma variedade diferenciável real na qual cada espaço tangente é dotado de um produto interior de maneira que varie suavemente ponto a ponto. Isto permite que se definam várias noções métricas como comprimento de curvas, ângulos, áreas (ou volumes), curvaturas, gradientes de funções e divergência de campos vetoriais.

Introdução[editar | editar código-fonte]

Uma variedade de Riemann é uma generalização do conceito métrico, diferencial e topológico do espaço euclidiano a objetos geométricos que localmente tem a mesma estrutura que o espaço euclidiano mas globalmente podem representar forma "curva". Com efeito, os exemplos mais simples de variedades de Riemann são precisamente superfícies curvas de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ e subconjuntos abertos de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

A estrutura matemática da geometria riemanniana permite estender a subconjuntos curvos ou hipersuperfícies do espaço euclidiano, as noções métricas de comprimento de uma curva, área de uma superfície, (hiper)volume ou ângulo entre duas curvas. Isto é realizado definindo-se em cada ponto um objeto matemático chamado tensor métrico que permite especificar um procedimento para medir distâncias, e portanto definir qualquer outro conceito métrico baseado em distâncias e suas variações.

O comprimento de uma curva ${\displaystyle \gamma (t)}$ é definido pela integração dos comprimentos dos vetores tangente em cada curva de tempo ${\displaystyle t}$.

Do ponto de vista matemático una variedade de Riemann é um tripleto do tipo:

${\displaystyle ({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)}$

Onde:

${\displaystyle ({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\})}$ é uma variedade diferenciável na que se tenha especificado o conjunto de cartas locais.

${\displaystyle g\,}$ é uma aplicação bilinear definida positiva desde o espaço tangente à variedade: ${\displaystyle g:TM\times TM\to \mathbb {R} .}$

Em particular, a métrica g permite definir em cada espaço tangente uma norma ||.|| mediante

${\displaystyle ||X||={\sqrt {g(X,X)}}.}$