G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $\eta _{\mu \nu }$ =

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = É O TENSOR GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

VARIEDADE GEOMÉTRICA DE GRACELI.

$({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)$ / G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $\eta _{\mu \nu }$ =

Equações de campo de Einstein

NO SISTEMA TENSORIAL DE GRACELI.

A equação do campo de Einstein descreve como o espaço-tempo se curva pela matéria e, reciprocamente, como a matéria é influenciada pela curvatura do espaço-tempo, ou digamos, como a curvatura dá lugar à gravidade.

A equação do campo se apresenta como se segue:

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }

/ G

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

onde o tensor $G_{\mu \nu }\$ é a curvatura de Einstein, uma equação diferencial de segunda ordem em termos do tensor métrico $g_{\mu \nu }$ , e $T_{\mu \nu }$ é o tensor de energia-momento. A constante de acoplamento se dá em termos de $\pi$ é Pi, $c$ é a velocidade da luz e $G$ é a constante gravitacional.

O tensor da curvatura de Einstein se pode escrever como

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

/ /

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}

/ G

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

onde além disso $R_{\mu \nu }\$ é o tensor de curvatura de Ricci, $R$ é o escalar de curvatura de Ricci e $\Lambda$ é a constante cosmológica.

A equação do campo portanto também pode apresentar-se como se segue:

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }

/ G

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

$g_{\mu \nu }$ é um tensor simétrico 4 x 4, assim que tem 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem em número a 6.

Estas equações são a base da formulação matemática da relatividade geral.

Interpretacão geométrica da Equação de Einstein NO SISTEMA TENSORIAL DE GRACELI. [editar | editar código-fonte]

A Teoria da relatividade mostra que a massa dos corpos depende do observador, pois esta varia com sua velocidade aparente, tal como no conceito de simultaneidade, e portanto também o espaço que se observa (formado por todos os eventos simultâneos). Assim, a equação de Einstein pode enunciar-se também afirmando que para cada observador, a curvatura escalar $\kappa$ do espaço é proporcional à densidade aparente $\rho$ :

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

\kappa =16\cdot G\pi c^{-2}\rho \

/ G

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

onde c = 3 × 10¹⁰ [cm s^-1] é a velocidade da luz e G = 6,67 × 10^-8 [cm³ s^-2 g^-1] é a constante da gravitação universal. De acordo com o significado geométrico da curvatura escalar, esta igualdade afirma que em uma esfera de massa M e densidade constante, o excesso radial (a diferença entre o raio real e o raio que corresponderia na geometria euclidiana a uma esfera de igual área) é igual a

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

\Delta R=GM/(3c^{2})

/ G

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

Por exemplo, no caso da Terra o excesso radial é de 0,15 cm e no caso do Sol é de aproximadamente 500 metros.

É notável que, esta equação, que introduz mínimas correções nas fórmulas da geometria euclidiana, atinja quase todas as equações conhecidas da Física macroscópica. Com efeito, quando a velocidade da luz c tende ao infinito, dela se derivam a Lei newtoniana da Gravitação, a Equação de Poisson e, portanto, o caráter atrativo das forças gravitacionais, as equações da mecânica dos fluidos (equação de continuidade e equações de Euler), as leis de conservação da massa-energia e do momento, o caráter euclidiano do espaço, etc..

Igualmente se derivam todas as leis de conservação relativísticas, e que a existência de campos gravitacionais e de massa só são possíveis quando o espaço tem dimensão maior que 2. Mais ainda, se supõe que o espaço tem dimensão 4 (as três que vemos habitualmente mais uma pequeníssima dimensão circular extra, aproximadamente do tamanho do chamado comprimento de Planck ~ $10^{-33}$ cm) da equação de Einstein se deduzem a teoria clássica do electromagnetismo: as equações de Maxwell e, portanto, a lei de Coulomb, a Conservação da carga elétrica e a lei de Lorentz.

Equações de Einstein-Maxwell NO SISTEMA TENSORIAL DE GRACELI.[editar | editar código-fonte]

Se o tensor energia-momento $T_{\mu \nu }$ é aquele de um campo eletromagnético, i.e. se o tensor momento-energia eletromagnético

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

T_{ab}=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})

/ G

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

é usado, então as equações de campo de Einstein são chamadas equações Einstein-Maxwell:

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

R_{ab}-{1 \over 2}Rg_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}(\,F_{a}{}^{s}F_{sb}+{1 \over 4}F_{st}F^{st}g_{ab})\

/ G

T^{\nu }{}_{\alpha }

[DR] =

F^{\mu \nu }

T^{\mu \nu }

P^{\mu }\!

\eta _{\mu \nu }

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